Depois dessas preliminares, voltamos ao entendimento do processo epidêmico, focando nos dois aspectos destacados: a disseminação e seu efeito ao longo do tempo. A disseminação de uma doença infecciosa se dá pelo contágio, através do qual um indivíduo infectado transmite a doença a outros indivíduos não-infectados da população. Quando a incidência da doença na população é pequena, temos uma situação endêmica e depois que o número de casos da doença cresce e ultrapassa um limite superior, temos uma situação epidêmica. Ou seja, a taxa de incidência define a gravidade do efeito da doença numa determinada comunidade e se, por acaso a disseminação se espalhar por vários países temos uma pandemia.
Qual é a relação do processo epidêmico com o crescimento exponencial? Em matemática, a exponencial é uma função da forma
cujo gráfico pode ser visto na Figura 1 (onde e ).
O crescimento exponencial é a forma como uma quantidade aumenta com o tempo segundo a função , ou seja o parâmetro da função é o tempo e o seu valor a quantidade de interesse. Na equação , a constante é o valor inicial no tempo , e a constante é o “fator de crescimento”. Uma característica da exponencial é que sua derivada (taxa de crescimento) é diretamente proporcional ao valor da função. Podemos ver isso, no caso de uma discretização de em intervalos de tempo unitários (i.e., ). Temos então
A inversa da função exponencial é o logarítmo, denotado por , devido a esse fato a função exponencial é também conhecida como anti-logarítmo. A função logarítmica desempenha papel importante em cálculos envolvendo a exponencial.
A relação da exponencial com a modelagem de epidemias é devido ao fato que, segundo estudos epidemiológicos, o primeiro período de um surto epidêmico segue um crescimento exponencial. Para ilustrar esse fato, consideramos um caso hipotético no qual, temos uma única pessoa infectada (i.e., ) e cada pessoa infectada transmite a doença para duas outras pessoas (i.e., ). Isso resulta na formula para essa epidemia
Com essa fórmula, podemos calcular o valor de para , obtendo assim o número de pessoas infectadas em cada intervalo. Vemos que, com um fator de crescimento de , teremos mais de casos após 14 dias — como pode ser verificado na Tabela 1 e no gráfico da Figura 2 (baseado em Joos [1]).
Ocorre que, depois dessa fase inicial a evolução da propagação da epidemia deixa de seguir o modelo exponencial pois a população tem um tamanho finito e todos seus individuos são infectados de modo que o crescimento termina. Além disso, deve-se considerar que os individuos após contrair a doença eventualmente serão curados e deixarão de ser transmissores dela.
O modelo da evolução de uma epidemia segue a função logistica, que estudaremos a seguir.
Referências
[1] Joos Korstanje. Modeling Exponential Growth, 2020a. URL : https://towardsdatascience.com/modeling-exponential-growth-49a2b6f22e1f